Cours 3
Hugo Pauget Ballesteros
hugo.pauget@dalembert.upmc.fr
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Introduction
Previously...
Oscillateur harmonique...
- Non-amorti
- Libre
- Forcé
- Libre
- Forcé
Maintenant : le monde continu
Du discret au continu
Un super DM que vous allez adorer !*
Vibrations longitudinales
Système : une barre
Mise en équation
La masse de cette petite section est $dm = \rho Sdx$
Le PFD appliqué à ce petit tronçon s'écrit : $$ \begin{aligned} dm\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial N}{\partial x}dx \\ \rho S\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial N}{\partial x}. \end{aligned} $$
Or, pour un matériau élastique homogène et isotrope, la mécanique des milieux continus nous dit que : $$ \frac{N}{S} = E\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}. $$
Mise en équation
En combinant ces deux équations, on tombe sur : $$\rho\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} = E\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}.$$
Nous retrouvons alors l'équation de d'Alembert :
$$\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}} - c_{L}^{2}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}} = 0,$$
où \[c_{L} ≝ \sqrt{\frac{E}{\rho}}\] est la vitesse des ondes longitudinales.
Résolution : le plan
C'est toujours la même chose :
- On cherche des solutions sous une certaine forme
- On applique toutes les contraintes et on espère avoir encore une solution à la fin
- On utilise un théorème de maths pour dire que l'on a trouvé toutes les solutions
📝 Exercice : Solutions à l'équation de d'Alembert
- Injectez une fonction de la forme $u(x, t) = X(x) \Phi(t)$ dans l'équation de d'Alembert.
- Isolez les termes dépendant de la variable spatiale $x$ à gauche et ceux dépendant de la variable temporelle $t$ à droite. Pourquoi ces deux membres doivent-ils être constants ?
- En notant cette constante $- \omega^2$, résolvez les deux équations différentielles impliquant $X(x)$ et $\Phi(t)$
Solutions à l'équation de d'Alembert
En injectant dans l'équation de d'Alembert, on tombe sur l'équation suivante : $$\frac{c_{L}^{2}}{X(x)}\frac{\partial^{2}X(x)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\Phi(t)}\frac{\partial^{2}\Phi(t)}{\partial t^{2}}.$$
Or, le membre de gauche dépend uniquement de $x$ tandis que le membre de droite uniquement de $t$. Les deux membres étant égaux, ils doivent être tous deux indépendants à la fois de la position et du temps.
On peut donc écrire : $$\frac{c_{L}^{2}}{X(x)}\frac{\partial^{2}X(x)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\Phi(t)}\frac{\partial^{2}\Phi(t)}{\partial t^{2}} = \text{ cste }.$$
Intéressons-nous au cas où cette constante est négative et notons-la $\omega^{2}$ : $$\frac{c_{L}^{2}}{X(x)}\frac{\partial^{2}X(x)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\Phi(t)}\frac{\partial^{2}\Phi(t)}{\partial t^{2}} = - \omega^{2}$$
On se retrouve alors avec deux équations différentielles : $$ \begin{cases} \frac{\partial^{2}X(x)}{\partial x^{2}} + \frac{\omega^{2}}{c_{L}^{2}}X(x) = 0 \\ \\ \frac{\partial^{2}\Phi(t)}{\partial t^{2}} + \omega^{2}\Phi(t) = 0 \end{cases} $$
que l'on sait maintenant bien résoudre : $$\begin{cases} \begin{aligned} \Phi(t) & = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) \\ X(x) & = C\cos(kx) + D\sin(kx),\quad k ≝ \frac{\omega}{c_{L}} \end{aligned} \end{cases}$$
Au final, on a trouvé des solutions du type $u(x,t) = X(x)\Phi(t)$ d'expression : $$u(x,t) = X(x)\Phi(t) = \left\lbrack A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) \right\rbrack\left\lbrack C\cos(kx) + D\sin(kx) \right\rbrack.$$ où les constantes $A,B,C,D\text{ et }\omega$ restent à déterminer en fonction des conditions initiales et des conditions aux limites.
Conditions aux limites
En réalité, une barre n'est pas infinie.
En $x = 0$ et $x = L$ :
- Bord encastré
$$u(x = 0, t) = 0 $$
- Bord libre
$$ N(x = 0) = 0 \implies \frac{\partial u}{\partial x}(x = 0, t) = 0 $$
📝 Exercice : Conditions aux limites
- Imaginons une barre où les deux bords sont encastrés. En écrivant les conditions en $x = 0$ et $x = L$, montrez que seule une partie des solutions trouvées précédemment fonctionnent toujours.
Apparition des modes propres
Nos deux conditions s'écrivent alors : $$ u(x = 0,t) = 0\quad\text{ et }\quad u(x = L,t) = 0,\quad\forall t \in {\mathbb{R}}.$$
En prenant en compte ces conditions dans l'expression de nos solutions, il vient que : $$C = 0\quad\text{ et }\quad\sin(kL) = 0.$$
Respecter la première condition implique la disparition du terme $C\cos(kx)$. La deuxième condition implique que \(k\) prenne des valeurs particulières : $$ k_{m} = \frac{m\pi}{L},\quad m \in {\mathbb{N}}^{\ast}.$$
Au final, seules certaines fonctions \(X(x)\) trouvées précédemment permettent de respecter les conditions aux limites. Il s'agit des : $$X_{m} = D_{m}\sin(k_{m}x).$$
Visualisation des modes propres
Les modes propres sont donnés par : $X_{m}(x) = D_{m}\sin\left(m \pi \frac{x}{L}\right)$
Au final, nous avons une famille de solutions possibles de la forme :
où $k_{m}$ et $\omega_{m}$ ne peuvent prendre qu'un certain nombre de valeurs, et où les constantes $D_{m}$, $A_{m}$ et $B_{m}$ restent à déterminer.
Une petite remarque : relation d'orthogonalité
On peut montrer que les fonctions \(X_{m}\) sont orthonormales sur l'intervalle \(\lbrack 0,L\rbrack\).
Ceci se traduit par la relation suivante : \[\int_{0}^{L}X_{m}(x)X_{n}(x)dx = \delta_{m,n}.\]
Oscillations libres
Considérons une combinaison linéaire des solutions trouvées (cas encastré-encastré) :
Oscillations libres - Conditions initiales
Supposons que nous ayons une fonction \(u_{0}(x)\) donnant la position initiale et une fonction \({\dot{u}}_{0}(x)\) donnant la vitesse initiale de n'importe quel point de notre barre. \[\begin{cases} \begin{aligned} u_{0}(x) &≝ u(x,0) = \sum_{m = 1}^{\infty}A_{m}X_{m}(x) \\ {\dot{u}}_{0}(x) &≝ \dot{u}(x,0) = \sum_{m = 1}^{\infty}\omega_{m}B_{m}X_{m}(x) \end{aligned} \end{cases}\] En multipliant ces deux équations par \(X_{m}(x)\), en intégrant de \(0\) à \(L\) puis en tenant compte de la relation d'orthogonalité, il vient : \[A_{m} = \int_{0}^{L}u_{0}(x)X_{m}(x)dx\quad\text{ et }\quad B_{m} = \frac{1}{\omega_{m}}\int_{0}^{L}{\dot{u}}_{0}(x)X_{m}(x)dx.\] En conclusion, nous avons trouvé une solution de l'équation de d'Alembert respectant les conditions aux limites et les conditions initiales.
Oscillations libres : le récap'
- On a cherché puis trouvé des solutions sous la forme $u(x, t) = X(x) \Phi(t)$
- Seules certaines fonctions $X(x)$ de ces solutions vérifient les conditions aux limites (en $x=0$ et $x=L$). On les appelle modes propres.
- Une combinaison linéaire de toutes les solutions trouvées reste solution de l'équation de d'Alembert.
- En appliquant les conditions initiales à cette combinaison linéaire, on trouve une seule solution qui vérifie l'équation de d'Alembert.
- Comme notre barre ne peut avoir qu'un seul déplacement possible une fois que l'on a fixé les conditions initiales, on sait que l'on a trouvé la solution qui décrit le mouvement.
Oscillations forcées
Imaginons maintenant que notre système est soumis à une force extérieure \(f(x,t)\) (il s'agit en réalité d'une force par unité de masse pour que les dimensions marchent bien) :
Voyons s'il existe une solution de la forme : \[u(x,t) = \sum_{m = 1}^{+ \infty}X_{m}(x)q_{m}(t).\]
où les $q_m(t)$ sont appelées les coordonnées modales.
En injectant dans notre équation différentielle, nous obtenons : \[\sum_{m = 1}^{+ \infty}X_{m}(x)\frac{\partial^{2}q_{m}(t)}{\partial t^{2}} - c_{L}^{2}q_{m}(t)\frac{\partial^{2}X_{m}(x)}{\partial x^{2}} = f(x,t)\]
ou encore : \[\sum_{m = 1}^{+ \infty}\left\lbrack \frac{\partial^{2}q_{m}(t)}{\partial t^{2}} + \omega_{m}^{2}q_{m}(t) \right\rbrack X_{m}(x) = f(x,t)\]
En multipliant cette équation par \(X_{n}(x)\) et en intégrant de \(0\) à \(L\), nous obtenons : \[\frac{\partial^{2}q_{n}(t)}{\partial t^{2}} + \omega_{n}^{2}q_{n}(t) = \int_{0}^{L}f(x,t)X_{n}(x)dx\]
Il ne reste "plus qu'à" résoudre cette équation différentielle. Nous savons déjà que les solutions de cette équation s'écrivent comme la somme des solutions de l'équation homogène (correspondant au régime libre, ou régime transitoire en présence d'amortissement) et d'une solution particulière (correspondant au régime stationnaire). Afin de ne pas surcharger les calculs, et comme nous nous intéressons surtout au régime stationnaire, nous nous contenterons la plupart du temps de trouver une solution particulière.
📝 Exercice : Oscillations forcées
Supposons que \(f\) est une fonction sinusoïdale, dépendant uniquement du temps : $f(x,t) = f_{0}\sin(\Omega t)$ .
Cherchons une solution de la forme : \[u(x,t) = \sum_{m = 1}^{+ \infty}X_{m}(x)q_{m}(t)\]
- Testez en prenant : \[q_{n}(t) = A_{n}\sin(\Omega t)\]
- Écrivez alors le déplacement $u(x, t)$
Nous trouvons la relation suivante : \[A_{n} = \frac{f_{0}\int_{0}^{L}X_{n}(x)dx}{\omega_{n}^{2} - \Omega^{2}}\]
Le déplacement s'écrit alors (en régime stationnaire) : \[u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty}X_{n}(x)q_{n}(t) = f_{0}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\int_{0}^{L}X_{n}(x)dx}{\omega_{n}^{2} - \Omega^{2}}X_{n}(x)\sin(\Omega t)\]
Spectre des résonances
Contrairement à l'oscillateur simple (1 pic), la réponse en fréquence d'un milieu continu fait apparaître tous ses modes propres.