Schéma

Rappels : Amortissement visqueux linéaire

Sous certaines hypothèses, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

$\mathbf{F_c} = -c \mathbf{v} $

Dimension de $c$ ?

Mise en équation

Le PFD appliqué à la masse donne :

$ m \mathbf{a} = - \mathbf{F_k} - \mathbf{F_c} $

$ m \ddot{x} = -F_k - F_c = -kx - c \dot{x} $

C'est-à-dire :

$ \ddot{x} + \frac{c}{m} \dot{x} + \frac{k}{m} x = 0 $

Ou encore :

$\ddot{x} + 2 \xi \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2x = 0 $

où $ \xi = \frac{c}{2 m \omega_0} = \frac{c}{2 \sqrt{k m}} $ est appelée coefficient d'ammortissement.

📝 Exercice : Résolution

Résolution

Nous voulons résoudre l'EDOL d'ordre 2 :

$ \ddot{x} + 2 \xi \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0 $

Elle a pour équation caractéristique :

$ r^2 + 2 \xi \omega_0 r + \omega_0^2 = 0 $

De discriminant :

$ \Delta = (2 \xi \omega_0)^2 - 4 \omega_0^2 = 4 \omega_0^2 (\xi^2 - 1) $

Nous avons alors trois possibilités...

Résolution, 2

1. Amortissement élevé : $ \xi \gt 1 \Leftrightarrow \Delta \gt 0 $

   Les soutions sont de la forme : $$ x(t) = A e^{(-\xi + \sqrt{\xi^2 - 1}) \omega_0 t} + B e^{(-\xi - \sqrt{\xi^2 - 1}) \omega_0 t} $$

2. Amortissement critique : $ \xi = 1 \Leftrightarrow \Delta = 0 $

   Les soutions sont de la forme : $ x(t) = (A t + B) e^{-\omega_0 t} $

3. Amortissement faible : $ \xi \lt 1 \Leftrightarrow \Delta \lt 0 $

   $$ \begin{aligned} x(t) &= e^{-\xi \omega_0 t} (A e^{i \omega_1 t} + B e^{- i \omega_1 t} ) \\ &= X e^{-\xi \omega_0 t} \sin(\omega_1 t + \phi), \end{aligned} $$ où $\omega_1$ est appelée pseudo-pulsation et est définie par $ \omega_1 \overset{\text{def}}{=} \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2} $.

📝 Exercice : Application

Simulation

Courbes

🙋 Des questions ?

Schéma

Mise en équation

Le PFD appliqué à la masse :

$$ m \mathbf{a} = - \mathbf{F_k} - \mathbf{F_c} + \mathbf{F_e} $$

$$ m \ddot{x} = -F_k - F_c + F_e = -kx - c \dot{x} + F_e $$

Ce qui nous donne l'équation différentielle :

On étudie une force sinusoïdale : $F_e(t) = F_0 \cos(\omega t)$.

Résolution

On cherche la solution sous la forme $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$.

1. Solution homogène ($x_h$) : déjà vue (oscillations libres).
2. Solution particulière ($x_p$) : liée à la force d'excitation.

Pour $x_p(t)$, cette fois il faudrait tester une solution de la forme :

$$ x_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) $$

... et c'est looooooooong !

Résolution : l'astuce

On va s'intéresser à l'équation différentielle complexe suivante :

$$ \ddot{X} + 2 \xi \omega_0 \dot{X} + \omega_0^2 X = \frac{F_0}{m} e^{i \omega t} $$

Remarquons que si $\underline{X_p(t)}$ est solution de cette équation, alors $x_p(t) = \Re(\underline{X_p(t)})$ est solution de $ \ddot{x} + 2 \xi \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2x = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) $

On va tester une solution du type :

$$ \underline{X_p(t)} = \underline{A} e^{i \omega t} $$

📝 Exercice : Résolution

Calcul de $\underline{A}$

En dérivant deux fois :

$$ \begin{cases} \dot{X}_p(t) = \underline{A} i\omega e^{i \omega t} \\ \ddot{X}_p(t) = -\underline{A} \omega^2 e^{i \omega t} \end{cases} $$

En injectant dans l'équation différentielle :

$$ \begin{aligned} (-\omega^2 + i 2 \xi \omega_0 \omega + \omega_0^2) \underline{A} e^{i \omega t} &= \frac{F_0}{m} e^{i \omega t} \\ \\ (-\omega^2 + i 2 \xi \omega_0 \omega + \omega_0^2) \underline{A} &= \frac{F_0}{m} \\ \\ \underline{A} &= \frac{F_0}{m} \frac{1}{(-\omega^2 + i 2 \xi \omega_0 \omega + \omega_0^2)} \end{aligned} $$

Solution particulière complexe

Si on note $\underline{A} = A e^{i \phi}$, alors :

$$ A = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\sqrt{(2 \xi \omega_0 \omega)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}} $$

$$ \phi = - \arctan \frac{2 \xi \omega_0 \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} $$

Solution particulière complexe

Au final, une solution particulière de l'équation différentielle complexe :

$$ \ddot{X} + 2 \xi \omega_0 \dot{X} + \omega_0^2 X = \frac{F_0}{m} e^{i \omega t} $$

est :

$$ \underline{X_p}(t) = \underline{A} e^{i \omega t} = A e^{i \omega t + \phi} $$

Solution particulière réelle

Enfin, une solution particulière de l'équation différentielle réelle :

$$ \ddot{x} + 2 \xi \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) $$

est :

$$ x_p (t) = \Re(\underline{X_p}(t)) = A \cos (\omega t + \phi) $$

Solution complète

La solution complète s'écrit :

$$ x(t) = \underbrace{ \begin{cases} A e^{(-\xi + \sqrt{\xi^2 - 1}) \omega_0 t} + B e^{(-\xi - \sqrt{\xi^2 - 1}) \omega_0 t} \\ (A t + B) e^{-\omega_0 t} \\ X e^{-\xi \omega_0 t} \sin(\omega_1 t + \phi) \\ \end{cases} }_{x_h(t)} + \underbrace{ \frac{F_0/m}{\sqrt{(2 \xi \omega_0 \omega)^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2}} \cos(\omega t + \phi) }_{x_p(t)} $$

Simulation

Réponse en fréquence

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