Hugo Pauget Ballesteros
hugo.pauget@dalembert.upmc.fr
"Tout est un système masse-ressort"
- Moi
Le PFD appliqué à la masse donne :
$ m \mathbf{a} = - \mathbf{F_k} $
$ m \ddot{x} = -F_k = -k x $
C'est-à-dire :
$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 $
où $ \omega_0 \stackrel{\text{def}}{=} \sqrt{\frac{k}{m}} $ est appelée pulsation propre.
Résoudre l'équation différentielle, en explicitant la démarche
Nous voulons résoudre l'EDOL d'ordre 2 :
$ \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 $
Elle a pour équation caractéristique :
$ r^2 + \omega_0^2 = 0 $
Qui admet deux racines conjuguées complexes :
$ r_1 = - i \omega_0 \text{ et } r_2 = i \omega_0 $
Les solutions sont donc de la forme :
$ \lambda \cos(\omega_0 t) + \mu \sin(\omega_0 t) $
où $ \lambda $ et $ \mu $ sont déterminées par les conditions initiales.
Donnez les valeurs de $\lambda$ et $\mu$ en fonction de $x_0$ et $v_0$, position et vitesse initiale du système.
Montrez que les écritures suivantes sont équivalentes :
Plutôt que de regarder les vecteurs forces, on fait un bilan énergétique.
Le Lagrangien est la différence des deux :
$L \stackrel{\text{def}}{=} T - V$
On peut démontrer que le PFD équivaut à la relation suivante :
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 $$
En utilisant l'expression de $L$, retrouvez l'équation différentielle du mouvement.
(Indice : calculez d'abord $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$, puis $\frac{\partial L}{\partial x}$)
On retrouve exactement :
$$ m \ddot{x} + k x = 0 $$
Cette approche est parfois plus simple à mettre en œuvre, notamment lorsque l'on veut choisir un système de coordonnées non-cartésien (voir TD1).
Le PFD appliqué à la masse :
$$ m \mathbf{a} = - \mathbf{F_k} + \mathbf{F_e} $$
$$ m \ddot{x} = -k x + F_e $$
Ce qui nous donne l'équation différentielle :
$$ \ddot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_e(t)}{m} $$
On étudie une force sinusoïdale : $F_e(t) = F_0 \cos(\omega t)$.
On cherche la solution sous la forme $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$.
Pour $x_p(t)$, on teste une solution de la forme :
$$ x_p(t) = A \cos(\omega t) $$
À quelle(s) condition(s) $x_p(t)$ pourrait être solution de l'équation différentielle ?
En dérivant deux fois :
$$ \dot{x}_p(t) = -A \omega \sin(\omega t) $$
$$ \ddot{x}_p(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t) $$
En injectant dans l'équation différentielle :
$$ -A \omega^2 \cos(\omega t) + \omega_0^2 A \cos(\omega t) = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) $$
$$ A(\omega_0^2 - \omega^2) = \frac{F_0}{m} $$
L'amplitude de la réponse est :
$$ A = \frac{F_0/m}{\omega_0^2 - \omega^2} $$
La solution complète s'écrit :
$$ x(t) = \underbrace{\lambda \cos(\omega_0 t) + \mu \sin(\omega_0 t)}_{x_h(t)} + \underbrace{\frac{F_0/m}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos(\omega t)}_{x_p(t)} $$
$ \lambda \cos(\omega_0 t) + \mu \sin(\omega_0 t) $ ou $ X \sin(\omega_0 t + \phi) $
$$ x(t) = \underbrace{\lambda \cos(\omega_0 t) + \mu \sin(\omega_0 t)}_{x_h(t)} + \underbrace{\frac{F_0/m}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos(\omega t)}_{x_p(t)} $$